Une nouvelle façon de simplifier les équations quadratiques

Les anciens Babyloniens étaient un groupe remarquable. Parmi de nombreuses réalisations extraordinaires, ils ont trouvé une solution mathématique désormais célèbre à un défi désagréable : payer des impôts.

Le problème particulier pour le travailleur babylonien ordinaire était le suivant : étant donné une facture fiscale qui doit être payée en récoltes, de combien devrais-je augmenter la taille de mon champ pour la payer ?

Ce problème peut être écrit sous la forme d'une équation quadratique de la forme Ax2+Bx+C=0. Et c'est résolu avec cette formule :

Aujourd'hui, plus de 4 000 ans plus tard, des millions de personnes ont la formule quadratique gravée dans leur esprit grâce à la façon dont les mathématiques sont enseignées à travers la planète.

Mais beaucoup moins de personnes peuvent dériver cette expression. Cela est également dû à la façon dont les mathématiques sont enseignées - la dérivation habituelle repose sur une astuce mathématique, appelée compléter le carré, qui est loin d'être intuitive. En effet, après les Babyloniens, il a fallu des siècles aux mathématiciens pour tomber sur cette preuve.

Avant et depuis, les mathématiciens ont trouvé un large éventail d'autres façons de dériver la formule. Mais tous sont également délicats et non intuitifs.

Il est donc facile d'imaginer que les mathématiciens ont dû épuiser le problème. Il ne peut tout simplement pas y avoir de meilleure façon de dériver la formule quadratique.

Entrez Po-Shen Loh, un mathématicien de l'Université Carnegie Mellon de Pittsburgh, qui a trouvé un moyen plus simple, qui semble être passé inaperçu ces 4 000 ans.

L'approche de Loh ne repose pas sur la réalisation du carré ou sur d'autres astuces mathématiques difficiles. En effet, il est assez simple de fonctionner comme une méthode générale elle-même, ce qui signifie que les étudiants n'ont pas du tout besoin de se souvenir de la formule. La dérivation a le potentiel de démystifier la formule quadratique pour les étudiants du monde entier, dit-il.

La nouvelle approche est simple. Il commence par observer que si une équation quadratique peut être factorisée de la manière suivante :

Alors le membre de droite vaut 0 quand x=R ou quand x=S. Alors ce seraient les racines du quadratique.

Multiplier le membre de droite donne

Ceci est vrai lorsque -B=R+S et lorsque C=RS.

Maintenant, voici la partie intelligente. Loh souligne que les nombres, R et S, s'additionnent à -B lorsque leur moyenne est -B/2.

On cherche donc deux nombres de la forme -B/2±z, où z est une seule inconnue, dit-il. Nous pouvons ensuite multiplier ces nombres ensemble pour obtenir une expression pour C. Donc

Ensuite, un simple réarrangement donne

Ce qui signifie que la solution d'une équation quadratique est :

Voilà ! C'est la formule quadratique.

[La version plus générale peut être dérivée en divisant l'équation Ax2+Bx+C=0 par A pour donner x2+B/Ax+C/A=0, puis en répétant le processus ci-dessus.]

C'est une amélioration très significative par rapport à la méthode précédente, et Loh montre pourquoi avec un exemple simple.

Trouver les racines de la quadratique suivante : x2 - 2x+4=0

La méthode traditionnelle consisterait à calculer les valeurs de A, B et C et à les insérer dans la formule quadratique. Mais l'approche de Loh résout le problème intuitivement. La première étape consiste à penser que les deux racines de l'équation doivent être égales à -B/2±z = 1±z

Et comme leur produit doit être C=4, on peut écrire :

Donc les racines sont

Tenter le même problème en utilisant la méthode traditionnelle est beaucoup plus délicat. Allez-y, lancez-vous ! La nouvelle approche est beaucoup plus simple et intuitive, notamment parce qu'elle ne nécessite aucunement la mémorisation de la formule.

Une question intéressante est de savoir pourquoi personne n'a découvert et largement partagé cette méthode auparavant.

Loh dit qu'il 'serait en fait très surpris si cette approche avait entièrement échappé à la découverte humaine jusqu'à nos jours, étant donné les 4 000 ans d'histoire sur ce sujet et les milliards de personnes qui ont rencontré la formule et sa preuve'. Pourtant, cette technique n'est certainement pas largement enseignée ou connue.

Loh a cherché dans l'histoire des mathématiques une approche qui ressemble à la sienne, sans succès. Il a examiné les méthodes développées par les anciens Babyloniens, Chinois, Grecs, Indiens et Arabes ainsi que les mathématiciens modernes de la Renaissance jusqu'à aujourd'hui. Aucun d'entre eux ne semble avoir fait ce pas, même si l'algèbre est simple et connue depuis des siècles.

Alors pourquoi maintenant ? Loh pense que cela est lié à la façon dont l'approche conventionnelle prouve que les équations quadratiques ont deux racines. Peut-être que la raison en est qu'il est en fait mathématiquement non trivial de faire l'implication inverse : cela a toujours deux racines, et que ces racines ont une somme -B et un produit C, dit-il.

Loh, qui est un éducateur en mathématiques et un vulgarisateur de renom, a découvert son approche en analysant les programmes de mathématiques pour les écoliers, dans le but de développer de nouvelles explications. La dérivation a émergé de ce processus.

La question est maintenant de savoir dans quelle mesure il se propagera et à quelle vitesse. Pour accélérer l'adoption, Loh a produit une vidéo sur la méthode . Quoi qu'il en soit, les calculatrices fiscales babyloniennes auraient sûrement été impressionnées.

Réf : arxiv.org/abs/1910.06709 : Une preuve simple de la formule quadratique

Correction : Nous avons modifié une phrase pour indiquer que la méthode n'avait jamais été largement partagée auparavant et avons inclus une citation de Loh.

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