Un algorithme d'exploration de données révèle l'évolution orageuse des mathématiques sur 700 ans

L'histoire des mathématiques est en quelque sorte une étude de l'esprit humain et de la façon dont il a compris le monde. C'est parce que la pensée mathématique est basée sur des concepts tels que le nombre, la forme et le changement, qui, bien qu'abstraits, sont fondamentalement liés aux objets physiques et à la façon dont nous les considérons.

Certains artefacts préhistoriques montrent des tentatives de quantification de choses comme le temps. Mais la première pensée mathématique formelle date probablement de l'époque babylonienne du deuxième millénaire avant notre ère.

Depuis lors, les mathématiques ont fini par dominer la façon dont nous conceptualisons l'univers et comprenons ses propriétés. En particulier, les 500 dernières années ont vu une véritable explosion du travail mathématique dans une grande variété de disciplines et de sous-disciplines.

Mais exactement comment le processus de découverte mathématique a évolué est mal compris. Les chercheurs n'ont guère plus qu'une compréhension anecdotique de la façon dont les disciplines sont liées les unes aux autres, de la façon dont les mathématiciens se déplacent entre elles et de la façon dont les points de basculement se produisent lorsque de nouvelles disciplines émergent et que d'anciennes meurent.

Aujourd'hui, cela semble devoir changer grâce aux travaux de Floriana Gargiulo de l'Université de Namur en Belgique et de quelques copains qui ont étudié le réseau de liens entre mathématiciens du XIVe siècle à nos jours.

Leurs résultats montrent comment certaines écoles de pensée mathématique remontent au XIVe siècle, comment certains pays sont devenus des exportateurs mondiaux d'expertise mathématique et comment les points de basculement récents ont façonné le paysage actuel des mathématiques.

Ce type d'analyse est possible grâce au programme mondial de collecte de données connu sous le nom de Mathematical Genealogy Project, qui contient des données sur quelque 200 000 scientifiques remontant au 14ème siècle. Il répertorie les dates, l'emplacement géographique, les mentors, les étudiants et la discipline de chaque scientifique. En particulier, les informations sur les mentors et les étudiants permettent la construction d'arbres généalogiques montrant les liens entre les mathématiciens depuis des siècles.

Gargiulo et co utilisent les puissants outils de la science des réseaux pour étudier en détail ces arbres généalogiques. Ils ont commencé par vérifier et mettre à jour les données par rapport à d'autres sources d'informations telles que les profils Scopus et les pages Wikipédia.

Il s'agit d'une étape non triviale nécessitant un algorithme d'apprentissage automatique pour repérer et corriger les erreurs ou les omissions. Mais à la fin, la grande majorité des scientifiques de la base de données ont une entrée décente.

Ils construisent ensuite un réseau à partir des données dans lequel chaque scientifique est un nœud et des liens existent lorsque l'un était le mentor ou l'élève d'un autre. Le réseau contient également les attributs associés à chaque chercheur, tels que sa discipline, son pays d'origine, etc. L'équipe utilise ensuite les outils bien établis de la science des réseaux pour analyser les réseaux résultants afin de repérer les clusters au sein des réseaux, les points de basculement, les nœuds influents, etc.

Les résultats rendent la lecture intéressante. Pour commencer, les algorithmes de regroupement standard révèlent comment les mathématiques peuvent être divisées en 84 arbres généalogiques et que 65 % des scientifiques de la base de données appartiennent à seulement 24 d'entre eux.

Le plus grand, avec 100 000 descendants, est né en 1415 sous les auspices de Sigismondo Polcastro, médecin en Italie. Le deuxième plus grand a été fondé par le mathématicien russe Ivan Petrovich Dolby à la fin du 19ème siècle.

Les données révèlent également les rôles des différents pays dans la production de mathématiciens et comment cela a changé au fil du temps. Il montre que des pays comme la Grèce, la France et l'Italie avaient autrefois des rôles centraux dans le réseau, mais que cette centralité a diminué au cours des derniers siècles. Il montre l'importance croissante de pays comme le Japon et l'Inde depuis la Seconde Guerre mondiale et de pays comme le Brésil et la Chine plus récemment.

L'analyse révèle des points de transition lorsque certains pays et régions sont tombés en disgrâce ou sont passés au premier plan. Par exemple, après la Première Guerre mondiale, l'Autriche et la Hongrie sont devenues moins importantes, probablement à cause de l'effondrement de l'empire austro-hongrois.

Une autre transition est liée au remodelage politique européen pendant la Seconde Guerre mondiale, explique l'équipe. C'est alors que les États-Unis ont dépassé l'Allemagne pour la première fois dans le classement. Et une autre transition s'est produite dans les années 1960 lorsque l'Union soviétique s'est épanouie en tant que force mondiale en mathématiques.

Les données permettent de suivre la migration des mathématiciens. Certains pays, comme les États-Unis, ont tendance à produire des mathématiciens qui y restent. D'autres produisent des mathématiciens qui ont tendance à se déplacer dans le monde. Inévitablement, les pays avec une faible histoire scientifique ont tendance à être des importateurs nets de mathématiciens, tandis que les pays avec une tradition mathématique plus forte ont tendance à être des exportateurs. Les exportateurs les plus importants sont la Russie et le Royaume-Uni, concluent-ils.

L'équipe adopte une approche similaire pour le regroupement des disciplines et sous-disciplines mathématiques. Ils montrent que pendant la révolution industrielle jusqu'en 1900, les disciplines les plus centrales étaient étroitement liées à la physique, telles que la thermodynamique, la mécanique et l'électromagnétisme. Un groupe de disciplines plus abstrait est devenu plus important entre 1900 et les années 1950, mais avec des liens avec des applications telles que les télécommunications et la physique quantique.

Plus récemment, les mathématiques appliquées en sont venues à dominer le domaine. Les dernières décennies ont vu la domination émergente des mathématiques appliquées (par exemple, les statistiques, les probabilités) et de l'informatique, disent Gargiulo et co.

Une intrigue secondaire intéressante dans tout cela est la façon dont les domaines des mathématiques se sont séparés ou ont fusionné. Gargiulo a identifié deux transitions importantes au XXe siècle. Le premier s'est produit entre 1930 et 1940, lorsque les disciplines de la statistique et des probabilités ont fusionné et ont commencé à attirer d'autres domaines appliqués, tels que la théorie de l'information, la théorie des jeux et la mécanique statistique. Le résultat fut l'émergence du domaine des mathématiques appliquées.

La deuxième transition s'est produite entre 1970 et 1980, lorsque l'informatique et les statistiques ont fusionné pour former une seule communauté.

C'est un travail fascinant qui montre le flux et le reflux des connaissances mathématiques au cours des 700 dernières années. Il montre que l'évolution mathématique ne consiste en aucun cas en un léger flux d'idées d'une génération à l'autre. Au lieu de cela, c'est un maelström dans lequel les idées et les pratiques émergent, prospèrent et évoluent, s'éteignant parfois complètement. Ce maelström se caractérise par des points de basculement dans lesquels les champs changent radicalement en quelques années seulement.

C'est une histoire complexe. Mais en ce sens, les mathématiques ne sont pas différentes de tout autre phénomène culturel. En effet, un projet intéressant serait de comparer l'évolution des idées mathématiques avec d'autres phénomènes culturels comme l'évolution des mots, l'évolution des mèmes sur les réseaux sociaux comme Twitter, et peut-être même des choses liées aux réseaux physiques comme l'origine et la propagation de la maladie. Cela donnera peut-être un aperçu de la façon dont de nouvelles idées émergent et deviennent importantes pour l'esprit humain.

De toute évidence, il y a du travail à faire. Et ce sera intéressant !

Réf : arxiv.org/abs/1603.06371 : L'origine classique des mathématiques modernes

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