Premières lois de conservation dérivées pour un univers virtuel

L'une des idées les plus importantes, les plus puissantes et les plus belles de la physique moderne est le théorème de Noether. Cela dit essentiellement que les lois fondamentales de la physique sont des manifestations de la symétrie dans l'univers.

Donc, si l'univers a une symétrie de rotation, alors il doit également obéir à la loi de conservation du moment cinétique, s'il a une symétrie temporelle, alors l'énergie doit être conservée et ainsi de suite.

Il est difficile de sous-estimer la signification profonde de cette approche. Il semble déchirer le tissu même de l'univers pour révéler une beauté très puissante en dessous.

Et pourtant, regardez de plus près le théorème de Noether et vous découvrirez bientôt ses sévères limitations. Il s'avère que cette approche ne peut être appliquée qu'à certains types de systèmes qui ont des symétries continues.

Cela exclut spécifiquement les systèmes discrets, qui procèdent étape par étape. Il s'agit notamment de systèmes tels que les machines de Turing, avec lesquelles un ou deux lecteurs peuvent être familiers.

Prenez par exemple le célèbre jeu de la vie de Conway, dans lequel des formes réalistes peuvent être générées à l'aide d'un automate cellulaire. Cela se passe sur une grille carrée qui est symétrique sous des rotations quart de tour, mais pas sous des rotations continues. Et dans ce monde, le temps avance par étapes discrètes plutôt que continues.

Il est clair que le théorème de Noether ne peut pas s'appliquer. Alors qu'arrive-t-il aux lois de conservation? Dans le jeu de la vie, devons-nous abandonner la conservation de l'énergie, du moment angulaire et autres ?

Aujourd'hui, Tommasso Tofoli de l'Université de Boston et Silvio Capobianco de l'Université de technologie de Tallinn en Estonie abordent exactement ces questions. Leur réponse est en quelque sorte un soulagement : ils trouvent une famille de systèmes discrets qui obéissent à un théorème de type Noether et montrent pourquoi.

Le système qu'ils étudient s'appelle un modèle de spin d'Ising. C'est un réseau 2D d'aimants élémentaires qui peuvent chacun pointer vers le haut ou vers le bas. Chaque aimant est couplé à ses quatre plus proches voisins par l'équivalent mathématique d'un élastique. La bande est étirée si le voisin tourne dans le sens opposé et lâche s'il tourne dans le même sens.

La question qu'étudient Toffoli et Capobianco est de savoir comment ce système se comporte, comment les spins basculent d'un état à un autre, mais ils imposent d'abord une limite importante au type d'interactions qui peuvent se produire.

Cette condition est qu'un spin ne basculera que si cela laisse inchangée la somme des énergies potentielles des quatre liaisons environnantes. Cela peut arriver si deux des voisins ont des spins parallèles tandis que les deux autres ont des spins antiparallèles. Ce type de système est appelé modèle d'Ising microcanonique.

Cette condition a des conséquences importantes. Cela signifie que l'énergie potentielle est toujours conservée.

Mais réfléchissez à cela plus en détail et il devient un peu difficile de cerner exactement ce que nous entendons par énergie. Le nombre d'aimants de rotation ascendante et descendante peut bien sûr changer de façon spectaculaire, ce n'est donc pas ce qu'il est conservé. Cependant, la frontière entre eux doit toujours être de la même longueur. Donc, si nous définissons la longueur de cette ligne comme de l'énergie, alors c'est ce qui est naturellement conservé.

(Bien sûr, les aimants, les élastiques et les énergies potentielles ne sont pas des moyens réels mais simplement utiles de penser à ce système.)

Cela peut sembler une définition arbitraire de l'énergie, mais Toffoli et Capobianco poursuivent en montrant qu'elle a les mêmes propriétés mathématiques de l'énergie dans l'univers réel (définir l'énergie dans notre monde est en soi très difficile à faire).

Bien sûr, il y a un autre aspect de ce système qui est facile à oublier mais crucial pour la conservation. C'est la structure de l'espace-temps discret dans lequel se déroule toute l'action, c'est-à-dire la grille 2D et les pas de temps sur lesquels s'effectue le changement.

Le point culminant de l'article de Toffoli et Capobianco est leur démonstration que l'énergie ne peut être conservée que si l'espace-temps est invariant, que toutes les directions et tous les temps dans cet univers d'Ising sont essentiellement équivalents.

De cette façon, ils montrent comment un théorème de type Noether peut s'appliquer dans un univers discret.

C'est extrêmement important. Cela signifie que les mêmes règles de symétrie qui ont été puissamment appliquées à la physique moderne peuvent également s'appliquer aux nombreuses nouvelles disciplines qui commencent à exploiter des modèles discrets. Celles-ci incluent de nombreuses sciences sociales, la science de la complexité, l'économie, la science du Web et bien sûr, le plus gros : l'informatique.

En effet, ces gars ont utilisé la symétrie pour dériver des lois de conservation dans un monde virtuel pour la première fois.

Mais la signification est encore plus profonde. Ce qui relie toutes ces disciplines, c'est l'information. Ils font tous partie d'un nouvel élan de la science moderne qui ignore les propriétés superficielles de la réalité physique et se concentre plutôt sur un fondement plus profond : l'information sur laquelle l'univers est construit.

Bien qu'ils ne le disent pas explicitement, ce que Toffoli et Capobianco étudient, c'est le rôle que les théorèmes de type Noether peuvent jouer dans ce nouveau monde de la science basée sur l'information.

Bien sûr, cela soulève aussi de nombreuses questions. Toffoli et Capobianco ne donnent qu'un seul exemple de système discret dans lequel s'applique un théorème de type Noether. Ce que beaucoup de gens voudront savoir, c'est comment cela peut être généralisé. Par exemple, peut-il être appliqué au jeu de la vie de Conway ?

Quoi qu'il en soit, Toffoli et Capobianco ont pris un départ prometteur. Comme ils le disent eux-mêmes : ce n'est que le début de ce qui promet d'être une ligne de recherche productive.

Réf : arxiv.org/abs/1103.4785 : Est-ce que quelque chose du théorème de Noether peut être récupéré pour des systèmes dynamiques discrets ?

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