Premier pavage apériodique avec une forme unique

Le problème du carrelage d'un avion a fasciné les constructeurs et les mathématiciens depuis des temps immémoriaux. À première vue, la tâche est simple : les carrés, les triangles, les hexagones font tous l'affaire pour produire des structures périodiques bien connues. Idem n'importe quel nombre de formes irrégulières et de leurs combinaisons.

Une question beaucoup plus délicate consiste à demander quelles formes peuvent carreler un plan dans un motif qui ne se répète pas. En 1962, le mathématicien Robert Berger découvre le premier jeu de tuiles qui fait l'affaire. Cet ensemble se composait de 20 426 formes : pas un ensemble facile pour carreler votre salle de bain.

Avec un respect chaleureux pour les améliorateurs de l'habitat, Berger a ensuite réduit l'ensemble à 104 formes et d'autres ont depuis réduit le nombre davantage. Aujourd'hui, les plus célèbres sont les tuiles apériodiques de Penrose, découvertes au début des années 1970, qui peuvent recouvrir un avion en utilisant seulement deux formes : des cerfs-volants et des fléchettes.

Le problème de trouver une seule tuile qui peut faire le travail s'appelle le problème d'Einstein ; rien à voir avec le grand homme mais de l'allemand pour one-ein-et pour tile-stein. Mais la recherche d'un einstein s'est avérée infructueuse. Jusqu'à maintenant.

Aujourd'hui, Joshua Socolar et Joan Taylor de l'Université Duke annoncent qu'ils ont résolu le problème d'Einstein et, ce faisant, ont découvert une toute nouvelle façon d'aborder le problème.

La tuile qu'ils ont découverte est essentiellement une forme hexagonale modifiée. Mais ils utilisent quelques astuces pour obtenir le résultat. Tout d'abord, ils se permettent d'utiliser un carreau et son image miroir pour carreler un plan de manière apériodique.

De toute évidence, certains carreleurs peuvent penser que cela contourne un peu les règles, alors Socolar et Taylor continuent en montrant que l'image miroir n'est pas nécessaire si la tuile est autorisée à avoir une forme 3D (voir ci-dessous).

La tuile présentée ici est le seul exemple connu de tuile apériodique, disent-ils.

C'est un résultat impressionnant. Après que Penrose ait révélé ses pavages apériodiques, les physiciens ont souligné que certains cristaux adoptaient des motifs similaires. Il sera intéressant de voir si la nature a également découvert la solution de Socolar et Taylor.

Bien sûr, le travail laisse ouvert un problème important : est-il possible de carreler un plan avec un motif non répétitif à l'aide d'une seule tuile 2D ?

J'imagine que Taylor et Socolar s'interrogent sur un mur de salle de bain en ce moment même.

Réf : arxiv.org/abs/1003.4279 : Une tuile hexagonale apériodique

cacher