Les curieuses mathématiques des réactions en chaîne Domino

Vous avez probablement vu l'effet domino en action où une rangée de dalles debout se renverse successivement. Habituellement, les dominos sont tous de la même taille, mais un domino renversant a en fait assez d'élan pour en pousser un plus gros. Il est donc possible de mettre en place une rangée de dominos de plus en plus grands qui peuvent être renversés par la poussée d'une petite dalle au début - une réaction en chaîne de dominos.

Voici donc une question intéressante. De combien peut être plus gros chaque domino suivant ?

Aujourd'hui, J M J van Leeuwen de l'Université de Leiden aux Pays-Bas prend ce problème par la peau du cou et lui donne une bonne secousse mathématique. Il s'avère que la réponse - le facteur de croissance maximum - n'est pas aussi simple que le problème pourrait le suggérer.

Il existe différentes vidéos, comme celui-ci , sur internet qui donnent une bonne démonstration de l'effet de réaction en chaîne. L'idée standard est qu'un domino peut en renverser un autre environ 1,5 fois plus gros, à condition que l'espacement entre eux soit optimal.

La physique de base est simple. Placer un domino à son extrémité stocke une certaine quantité d'énergie potentielle qui est libérée en le poussant. Cependant, la force nécessaire pour renverser le domino est inférieure à la force qu'il génère lorsqu'il tombe. C'est cette amplification de force qui peut être utilisée pour renverser de plus gros dominos.

Mais le diable est dans les détails car les dominos perdent de l'énergie de différentes manières lorsqu'ils basculent. Par exemple, un domino qui bascule vient s'immobiliser sur son voisin. Les collisions sont donc inélastiques, ce qui est la principale source d'énergie perdue. Et dans la pratique, les dominos peuvent glisser sur le sol lorsqu'ils sont touchés et cela peut sérieusement gêner le basculement.

Ainsi van Leeuwen fait une série de simplifications dans son analyse mathématique. Il suppose que le frottement entre le sol et les dominos est effectivement infini de sorte qu'ils ne peuvent pas glisser. Il suppose que les collisions sont totalement inélastiques, de sorte que les dominos restent en contact les uns avec les autres lorsqu'ils entrent en collision. Il suppose également qu'une fois en contact les uns avec les autres, les dominos glissent sans frottement les uns sur les autres.

Compte tenu de ces hypothèses, il montre ensuite qu'avec un espacement optimal, chaque domino suivant ne peut pas être plus d'environ deux fois plus grand que le précédent, ce qui correspond à un facteur de croissance maximal ne dépassant pas environ 2.

C'est beaucoup plus que ce qui a été supposé dans le passé. Il admet qu'atteindre cette limite est probablement irréaliste dans la pratique car les hypothèses ne peuvent jamais tenir parfaitement. Par exemple, les dominos glisseront toujours d'un petit montant.

Néanmoins, même un facteur de croissance de 1,5 conduit à des réactions en chaîne extraordinaires. Une série de 13 dominos qui croissent à ce rythme va amplifier la force nécessaire pour pousser le plus petit par un facteur de 2 milliards. Et il n'a pas besoin d'une série particulièrement longue avant que les plus gros dominos aient la taille de gratte-ciel.

Des mathématiques divertissantes !

Réf : arxiv.org/abs/1301.0615 : Grossissement Domino

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