La loi de Benford et une théorie du tout

En 1938, le physicien Frank Benford a fait une découverte extraordinaire sur les nombres. Il a découvert que dans de nombreuses listes de nombres tirées de données réelles, le premier chiffre est beaucoup plus susceptible d'être un 1 qu'un 9. En fait, la distribution des premiers chiffres suit une loi logarithmique. Ainsi, le premier chiffre est susceptible d'être 1 environ 30 % du temps, tandis que le nombre 9 n'apparaît que 5 % du temps.

C'est une découverte troublante et contre-intuitive. Pourquoi les nombres ne sont-ils pas répartis uniformément dans de telles listes ? Une réponse est que si les nombres ont ce type de distribution, ils doivent être invariants à l'échelle. Ainsi, le passage d'un ensemble de données mesuré en pouces à un autre en centimètres ne devrait pas modifier la distribution. Si tel est le cas, la seule forme qu'une telle distribution peut prendre est logarithmique.

Mais bien qu'il s'agisse d'un argument puissant, il n'explique en rien l'existence de la distribution.

Ensuite, il y a le fait que la loi de Benford semble s'appliquer uniquement à certains types de données. Les physiciens ont découvert qu'il apparaît dans une incroyable variété d'ensembles de données. En voici quelques-uns : les superficies des lacs, les longueurs des rivières, les constantes physiques, les indices boursiers, la taille des fichiers dans un ordinateur personnel, etc.

Cependant, il existe de nombreux ensembles de données qui ne suivent pas la loi de Benford, comme les numéros de loterie et de téléphone.

Quelle est la différence entre ces ensembles de données qui fait que la loi de Benford s'applique ou non ? Il est difficile d'échapper au sentiment que quelque chose de plus profond doit se passer.

Aujourd'hui, Lijing Shao et Bo-Qiang Ma de l'Université de Pékin en Chine offrent un nouvel aperçu de la nature de la loi de Benford. Ils examinent comment la loi de Benford s'applique à trois types de distributions statistiques largement utilisées en physique.

Ce sont : la distribution de Boltzmann-Gibbs qui est une mesure de probabilité utilisée pour décrire la distribution des états d'un système ; la distribution de Fermi-Dirac qui est une mesure des énergies des particules individuelles qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli (c'est-à-dire les fermions) ; et enfin la distribution de Bose-Einstein, une mesure des énergies de particules individuelles qui n'obéissent pas au principe d'exclusion de Pauli (c'est-à-dire les bosons).

Lijing et Bo-Qiang disent que les distributions des distributions de Boltzmann-Gibbs et de Fermi-Dirac fluctuent toutes les deux de manière périodique autour de la distribution de Benford par rapport à la température du système. La distribution de Bose Einstein, en revanche, est conforme à la loi de Benford exactement quelle que soit la température.

Que penser de cette découverte ? Lijing et Bo-Qiang disent que les distributions logarithmiques sont une caractéristique générale de la physique statistique et pourraient donc être un principe plus fondamental derrière la complexité de la nature.

C'est une idée intrigante. Se pourrait-il que la loi de Benford fasse allusion à une sorte de théorie sous-jacente qui régit la nature de nombreux systèmes physiques ? Peut-être.

Mais qu'en est-il alors des ensembles de données qui ne sont pas conformes à la loi de Benford ? Toute explication décente devra expliquer pourquoi certains ensembles de données suivent la loi et d'autres non et il semble que Lijing et Bo-Qiang en soient plus éloignés que jamais.

Réf : arxiv.org/abs/1005.0660 : La loi des chiffres significatifs en physique statistique

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