« Infinity Computer » calcule exactement la surface du tapis Sierpinski

Un tapis Sierpinksi est l'un des objets fractals les plus célèbres en mathématiques. En créer un est une procédure itérative. Commencez par un carré, divisez-le en neuf carrés égaux et enlevez celui du centre. Cela laisse huit carrés autour d'un trou carré central.

À l'itération suivante, répétez ce processus avec chacun des huit carrés restants et ainsi de suite (voir ci-dessus).

Un problème intéressant est de trouver l'aire d'un triangle de Sierpinski. Il est clair que cela change à chaque itération. En supposant que le carré d'origine a une aire égale à 1, l'aire après la première itération est 8/9. Après la deuxième itération, c'est (8/9)^2 ; après le troisième c'est (8/9)^3 et ainsi de suite.

L'aire d'un tapis de Sierpinski après n itérations est donc (8/9)^n. C'est simple.

Mais quelle est l'aire du tapis après un nombre infini d'itérations ?

Les mathématiques ordinaires n'ont pas de réponse à cette question car elles manquent d'outils pour gérer l'infini. Au lieu de cela, les mathématiciens examinent les propriétés du système mathématique et comment il se comporte lorsqu'il tend vers l'infini. Ils disposent même de nombreux outils formels pour explorer ces limites. Mais les propriétés à l'infini doivent être supposées.

Dans ce cas, l'aire du tapis tend vers zéro comme le nombre d'itérations tend vers l'infini donc l'aire d'un tapis Sierpinski est nulle.

Cela laisse de nombreux mathématiciens avec un goût aigre dans la bouche. La raison en est que la zone d'un tapis Sierpinski proche de l'infini doit être très sensible à sa forme d'origine, qu'il s'agisse d'un carré ou d'un autre motif. Mais le processus de recherche des limites brouille ce comportement.

Par exemple, au lieu de commencer par un carré, imaginez en commençant par la forme dans le coin supérieur gauche de la figure ci-dessus, appelons cela un beignet carré. Le beignet carré se compose de huit carrés, chacun avec des côtés de longueur 1/3. Évidemment, l'aire de ce tapis Sierpinksi tend vers zéro comme n tend vers l'infini.

Mais le tapis donut carré a une longueur d'avance sur le tapis Sierpinski traditionnel mais cela se perd dans l'approche traditionnelle. À l'infini, ils sont traités comme égaux.

Si cela ne semble pas très significatif, imaginez que vous exécutez le processus à l'envers, en partant de l'infini et en travaillant en arrière pour aboutir à un carré ou un beignet carré ou une autre forme de la séquence de tapis.

Dans ce cas, chaque forme peut être créée par le même nombre (infini) d'étapes, il n'est donc pas possible de les distinguer. C'est clairement absurde.

Aujourd'hui, Yaroslav Sergeyev, mathématicien à l'Université de Calabre en Italie, résout ce problème (et la version tridimensionnelle analogue appelée éponge de Menger).

Au cours des dernières années, Sergeyev a défendu un nouveau type de mathématiques appelé calcul de l'infini. L'idée de base est de remplacer la notion d'infini par un nouveau nombre que Sergeyev appelle grossone, qu'il écrit ainsi :

Sergeyev commence par ajouter un nouvel axiome à l'axiome des nombres réels, qu'il appelle l'axiome de l'unité infinie. Cela introduit grossone - l'unité infinie.

Parce qu'il est régi par les autres axiomes des nombres réels, grossone se comporte aussi beaucoup comme un. Il est donc possible de multiplier grossone, de le diviser, de lui ajouter et de lui soustraire, tout comme c'est possible avec d'autres nombres réels.

Cela rend soudainement le travail à l'infini beaucoup plus facile en utilisant un processus de calcul que Sergeyev appelle l'ordinateur de l'infini, qui intègre l'axiome supplémentaire. L'introduction de grossone donne la possibilité de travailler avec des quantités finies, infinies et infinitésimales numériquement, dit-il.

Pour montrer sa puissance, il travaille à travers les exemples de tapis Sierpinski donnés ci-dessus, révélant comment il est possible de garder une trace du nombre d'itérations à l'infini simplement en ajoutant ou en soustrayant des nombres réels de grossone. Si un carré peut être créé en étapes de grossone, un beignet carré peut être créé en étapes de -grossone moins 1-. De cette façon, il est simple de différencier l'une des formes de la séquence de tapis.

Cela a l'air pratique. L'incapacité à suivre les processus mathématiques à l'infini ou près de l'infini de manière cohérente a frustré les mathématiciens et les physiciens pendant des siècles.

Donc, si Sergeyev a trouvé un moyen de contourner cela qui fonctionne, c'est clairement une avancée très significative.

Réf : arxiv.org/abs/1203.3150 : Évaluation des valeurs infinitésimales exactes de la surface du tapis de Sierpinski et du volume de l'éponge de Menger

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