Comment transformer les mathématiques complexes du calcul vectoriel en images simples

En 1948, la revue Physical Review a publié un article intitulé Approche espace-temps de l'électrodynamique quantique par un jeune physicien nommé R.P. Feynman à l'Université Cornell. L'article décrit une nouvelle façon de résoudre des problèmes d'électrodynamique à l'aide de matrices. Cependant, on se souvient de lui aujourd'hui pour une invention beaucoup plus puissante - le diagramme de Feynman, qui y est apparu sous forme imprimée pour la première fois.

Les diagrammes de Feynman ont eu un impact énorme en physique. Ce sont des représentations picturales des mathématiques qui décrivent l'interaction entre les particules subatomiques. Mathématiquement, chaque interaction est une série infinie, de sorte que même les interactions simples entre particules sont incroyablement complexes à écrire de cette manière.

Le génie de Feynman était de représenter ces séries avec des lignes simples dans un format graphique, permettant aux scientifiques de penser à la physique des particules de manière nouvelle et passionnante.

Feynman et d'autres ont immédiatement commencé à étendre leurs idées en utilisant ce raccourci graphique. En effet, le physicien américain Frank Wilcjek, qui a travaillé avec Feynman dans les années 1980, a écrit un jour : Les calculs qui m'ont finalement valu un prix Nobel en 2004 auraient été littéralement impensables sans les diagrammes de Feynman.

Bien sûr, de nombreux autres domaines de la physique reposent sur des mathématiques complexes. Et cela soulève la question intéressante de savoir si les innovations basées sur les graphiques pourraient simplifier ces calculs et peut-être lancer une nouvelle ère d'innovation, tout comme Feynman l'a fait.

Entrez Joon-Hwi Kim de l'Université nationale de Séoul en Corée du Sud et quelques collègues qui ont mis au point une innovation similaire pour le calcul vectoriel - un raccourci basé sur des graphiques pour l'un des outils mathématiques les plus courants et les plus puissants en science. Nous prévoyons que le calcul vectoriel graphique réduira les obstacles à l'apprentissage et à la pratique du calcul vectoriel, comme l'ont fait les diagrammes de Feynman dans la théorie quantique des champs, disent-ils.

Tout d'abord un peu de contexte. Le calcul vectoriel est la branche des mathématiques qui traite de la différenciation et de l'intégration des champs vectoriels. La raison pour laquelle il est si important en physique est que plus ou moins tout dans l'univers peut être décrit en termes de champs vectoriels - champs électromagnétiques, champs gravitationnels, écoulement de fluide, etc.

C'est pourquoi chaque étudiant de premier cycle en physique et en génie passe de nombreuses heures heureuses à se débattre avec les mathématiques et la notation obscure qu'elles nécessitent. Le problème est que les champs de vecteurs sont des entités complexes - ils attribuent un seul vecteur à chaque point de l'espace tridimensionnel et peuvent eux-mêmes être des représentations d'objets mathématiques plus complexes appelés variétés différentiables. Ainsi, dans sa forme la plus simple, un champ vectoriel peut être une liste infinie de vecteurs.

Les mathématiciens représentent ces champs en utilisant une approche appelée notation d'index. Un vecteur peut s'écrire à la où je = 1, 2 ou 3 dans un espace tridimensionnel. Une autre façon d'écrire ceci est : = [ à un, à deux, à 3].

Les problèmes surviennent lorsque ces quantités interagissent mathématiquement. Les champs vectoriels peuvent être multipliés par des scalaires ou les uns par les autres de deux manières différentes, appelées produit scalaire et produit croisé. Et les résultats peuvent être extrêmement complexes : d'énormes matrices multidimensionnelles.

Dans tous ces cas, les indices des champs de vecteurs impliqués doivent être suivis attentivement. N'importe quel physicien sait à quel point il est facile de perdre un indice et combien il est pénible de le retrouver.

Ensuite, il y a le défi de déterminer comment ces champs changent au fil du temps ou en relation avec une autre variable. C'est le problème de la différenciation, pour lequel les physiciens ont développé une gamme d'outils connus sous le nom d'opérateurs - le plus célèbre étant peut-être le opérateur .

L'avancée que Kim et ses collègues ont réalisée est de développer une notation basée sur des graphiques qui remplace la notation d'index. Ils représentent un vecteur sous la forme d'une boîte avec une ligne qui lui est attachée. En revanche, un scalaire n'a pas de lignes qui en partent.

Lorsque deux vecteurs se multiplient ensemble via un produit scalaire, le résultat est une quantité scalaire. La notation de Kim and co s'en charge automatiquement. Dans un produit scalaire, les lignes associées aux deux vecteurs se connectent l'une à l'autre, créant un objet sans lignes externes, en d'autres termes, un scalaire.

Mais un produit croisé entre deux vecteurs produit un autre vecteur, et encore une fois la notation de Kim et co gère cela automatiquement. Le graphique d'un produit croisé est en forme de Y, les lignes des deux vecteurs se connectant à un troisième qui s'étend au loin. En d'autres termes, cela forme un vecteur.

Ce n'est que le début. Les chercheurs décrivent ensuite un large éventail d'autres outils mathématiques, tels que l'opérateur del ainsi que diverses identités importantes utilisées dans le calcul vectoriel. Et ils étendent leurs idées aux tenseurs, qui sont des objets mathématiques plus complexes, chacun avec deux indices ou plus.

Les résultats montrent une économie remarquable. Kim et co montrent comment leur notation transforme des expressions mathématiques complexes en graphiques relativement simples, tout comme les diagrammes de Feynman. Le langage est très intuitif et simplifie automatiquement les expressions tensorielles, disent-ils.

Il y a une utilité importante ici. Kim et co disent que leur approche transforme le calcul de champ vectoriel en une tâche visuelle, un peu comme construire avec des briques Lego. En tant qu'enfant jouant avec des jouets éducatifs tels que des blocs Lego ou des bâtons de construction magnétiques, ce sera une expérience amusante de 'gribouiller avec les diagrammes de danse', disent-ils. Comme les diagrammes de Feynman sont le langage le plus naturel pour décrire le processus microscopique des particules élémentaires, la notation graphique est le langage canonique du système de calcul vectoriel.

C'est une grande revendication avec un énorme potentiel. Il ne fait aucun doute que les diagrammes de Feynman ont changé la façon dont les physiciens envisagent la physique des particules. Mais le calcul vectoriel a une portée encore plus grande en tant que fondement mathématique d'une grande partie de la physique et de l'ingénierie modernes.

La grande question est de savoir dans quelle mesure les idées se répandront. Cela déterminera si cette notation graphique déclenche un changement transformateur dans notre façon de penser la physique ou forme une curieuse note de bas de page dans l'histoire de l'invention mathématique. Quoi qu'il en soit, Feynman aurait sûrement été amusé.

Réf : arxiv.org/abs/1911.00892 : Booster le calcul vectoriel avec la notation graphique

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