Cet algorithme peut dire quelles séquences de nombres un humain trouvera intéressant

Une des curieuses propriétés des mathématiques est leur beauté. Mais ce que les mathématiciens entendent exactement par beauté est difficile à saisir.

L'exemple le plus célèbre est peut-être la relation d'Euler, e je π + 1 = 0, ce qui révèle un lien profond entre des domaines mathématiques apparemment sans rapport. Par exemple, |_+_| vient de la géométrie, Et et je viennent de l'algèbre, et les primitives 0 et 1 ainsi que les opérations + et = viennent de la théorie des nombres. Qu'ils soient liés d'une manière aussi simple et inattendue est l'une des grandes merveilles du monde mathématique.

Et cela pointe vers une autre composante de la beauté mathématique : les modèles mathématiques doivent être intéressants d'une certaine manière. Reconnaître ces modèles intéressants a toujours été une capacité humaine unique.

Mais ces dernières années, les machines sont devenues des outils de reconnaissance de formes extrêmement performants. En effet, ils ont commencé à surpasser les humains dans la reconnaissance faciale, la reconnaissance d'objets et une variété de rôles de jeu également.

Et cela soulève une possibilité intéressante : les algorithmes d'apprentissage automatique peuvent-ils identifier des modèles intéressants ou élégants en mathématiques ? Pourraient-ils même être des arbitres de la beauté mathématique ?

Aujourd'hui, nous obtenons une sorte de réponse grâce au travail de Chai Wah Wu au TJ Watson Research Center d'IBM dans l'État de New York. Wu a construit un algorithme d'apprentissage automatique qui a appris à identifier certains types d'élégance dans les structures mathématiques et l'a utilisé pour filtrer les séquences intéressantes de celles entièrement aléatoires.

La technique utilise une base de données inhabituelle appelée Encyclopédie en ligne des séquences d'entiers , créé à l'origine dans les années 1960 par le mathématicien Neil Sloane et mis en ligne en 1996.

Une suite d'entiers est une série de nombres ordonnés selon une règle. Des exemples célèbres incluent les nombres premiers, des nombres qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et 1 ( A000040 ); la suite de Fibonacci, dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents ( A000045 ); et même des exemples triviaux comme la suite de nombres impairs ou les nombres premiers qui commencent par un 7.

En effet, les mathématiciens qui dirigent l'OEIS ont largement parcouru le net à la recherche de séquences intéressantes et ont donc inclus un large éventail d'exemples ayant une signification purement culturelle. Il s'agit notamment des nombres premiers qui contiennent la séquence 666, le soi-disant nombre de la bête.

La base de données inclut même la suite de nombres premiers contenant le nombre 667 ( A138563 ). Ce nombre a été jugé important parce que lorsque les télécopieurs étaient courants, les gens avaient souvent un numéro de télécopieur qui était leur numéro de téléphone plus 1. En d'autres termes, si leur numéro de téléphone était 123-4567, leur numéro de télécopieur serait 123-4568. Dans cette façon de penser, 667 est le numéro de fax de la bête, et donc d'importance culturelle (les éditeurs sont humains, après tout).

Aujourd'hui, la base de données Integer Sequence contient quelque 300 000 séquences, et de nouvelles séquences sont soumises chaque jour par des amateurs et des professionnels, nombre d'entre elles faisant allusion à de nouveaux problèmes intéressants en mathématiques.

La tâche que Wu a entrepris était de trouver un moyen de distinguer ces séquences intéressantes de celles générées aléatoirement. Et son idée était de trouver des lois empiriques qui peuvent agir comme des mesures d'intérêt qui pourraient les distinguer de celles qui ne sont pas intéressantes.

Les lois empiriques ne sont pas des théorèmes mathématiques en soi mais ce sont des observations empiriques de relations qui semblent s'appliquer à de nombreux ensembles de données naturelles et artificielles, dit Wu. Les exemples incluent la loi de Moore en génie électrique et le principe de Pareto 80/20 en économie. La raison pour laquelle ces lois tiennent n'est pas entièrement comprise, mais elles tiennent néanmoins.

Un principe empirique qui s'applique à de nombreux ensembles de données est la loi de Benford. Cela a été découvert par le mathématicien et astronome canadien Simon Newcomb en 1881. Newcomb a noté que les premières pages des livres de tables de logarithmes étaient plus fortement feuilletées que les pages ultérieures, ce qui suggère que les logarithmes commençant par le chiffre 1 étaient plus courants.

Cela l'a amené à formuler le principe selon lequel, dans tout ensemble de données, plus de nombres commenceraient par 1 que tout autre nombre. La même idée a été redécouverte et popularisée par Frank Benford dans les années 1930.

La loi de Benford s'applique à un large éventail d'ensembles de données, tels que les factures d'électricité, les adresses postales, les cours des actions, etc. Il est si prévisible qu'il peut être utilisé pour détecter la fraude dans les comptes financiers. Mais cela ne s'applique pas aux séquences aléatoires. Exactement pourquoi n'est pas clairement compris.

En effet, c'est une sorte d'énigme que les mathématiciens aient découvert que la loi de Benford s'applique à certaines séquences d'entiers. Mais dans quelle mesure s'applique-t-il dans ces séquences ?

Pour le savoir, Wu a mesuré dans quelle mesure la loi prédit la distribution des premiers chiffres dans 40 000 séquences choisies au hasard dans la base de données OEIS.

Il s'avère que la loi de Benford apparaît beaucoup plus souvent que prévu. Les résultats montrent que de nombreuses séquences, mais pas toutes, satisfont dans une certaine mesure à la loi de Benford, dit Wu, qui a découvert qu'un autre principe empirique appelé loi de Taylor était également largement présent.

La question suivante était un simple pas en avant : la loi de Benford et la loi de Taylor pouvaient-elles être utilisées pour distinguer les séquences aléatoires de celles de l'OEIS ?

Pour le savoir, Wu a généré 40 000 séquences d'entiers aléatoires et les a ajoutées aux 40 000 séquences sélectionnées dans l'OEIS. Il a ensuite formé un algorithme d'apprentissage automatique pour repérer les séquences OEIS à l'aide de la loi de Benford et de la loi de Taylor et pour les distinguer des séquences aléatoires.

Les résultats sont impressionnants. L'algorithme a fonctionné avec une précision de 0,999 et une précision de 0,9984. C'est important car cela met en place la possibilité d'un processus automatisé pour repérer les séquences intéressantes.

Une application est immédiatement apparente. Les mathématiciens qui dirigent l'OEIS doivent actuellement traiter quelque 10 000 soumissions par an. Ainsi, un moyen de repérer automatiquement les plus intéressants pourrait être utile.

Cependant, l'approche présente des limites importantes. Les mathématiciens ont défini de nombreuses séquences intéressantes et importantes qui ont un nombre infini de termes mais sont difficiles à calculer. Par conséquent, la base de données ne contient qu'une poignée de ces termes. Ceux-ci ne sont évidemment pas adaptés à ce type d'analyse basée sur la machine.

La question plus large est de savoir si cette approche peut identifier l'élégance ou la beauté en mathématiques. Comme le demande Wu : L'apprentissage automatique peut-il identifier les attributs qualitatifs des connaissances scientifiques ? c'est-à-dire, peut-on dire si un résultat scientifique est élégant, simple ou intéressant ?

Cet objectif n'est peut-être pas totalement futile. Si des lois empiriques telles que celles de Benford et de Taylor sont un indicateur d'intérêt, comme le suggère ce travail, alors peut-être que cet algorithme peut être considéré comme un arbitre de l'élégance, au moins à un certain niveau.

Euler, de la relation éponyme et l'un des plus grands mathématiciens de l'histoire, serait sûrement fasciné.

Réf : https://arxiv.org/abs/1805.07431 L'apprentissage automatique peut-il identifier des mathématiques intéressantes ? Une exploration utilisant des lois observées empiriquement

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